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Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto, dy = df(x) = f'(x) · h Propiedades de la diferencial Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad: Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y
Cuarta propiedad:
cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a
cuando h es muy
pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.
Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Se
quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido
entre
Diferenciando la expresión s = 5t2 + t, ds = (10t + 1) · dt
Sustituyendo en la expresión de ds,
En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:
Se
ha cometido un error de
Calcular 3,052. Resolución:
Diferenciando esta función, dy = 2x dx. Por la proximidad de 3,05
a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial
en
En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05 dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente,
Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡ 25 diezmilésimas !
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Diferencial de una función
en un punto
